\( \frac{15^2}{25} = \frac{15 \cdot 15}{25} = \frac{3 \cdot 15}{5} = \frac{3 \cdot 3}{1} = \frac{9}{1} = 9 \)

Alternativt: \( \frac{15^2}{25} = \frac{10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5 + 5^2}{25} = \frac{100 + 100 + 25}{25} = \frac{225}{25} = 9 \)

Alternativt: \( \frac{15^2}{25} = \frac{100 + 100 + 25}{25} = \frac{100}{25} + \frac{100}{25} + \frac{25}{25} = 4 + 4 + 1 = 9 \)

Eller mange andre måder at lave begerningen.

\(768/2 = 384\)
\(384/2 = 192\)
\(192/2 = 96\)
\(96/2 = 48\)
\(48/2 = 24\)
\(24/2 = 12\)
\(12/2 = 6\)
\(6/2 = 3\)

\(768 = 3 \cdot 2^8\)
Der er otte faktorer 2 og en faktor 3.

Hvis man havde indset at der var en faktor 3 i starten \(768/3 = 256\), så kunne erfarne computerbrugere måske have tolket 256 som en 2er potens med det samme.

\( \frac{15 \cdot 10^{-6}}{12 \cdot 10^{-7}} \cdot 8 \cdot 10^{-4} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= \frac{15 \cdot 10^{\cancel{-6}1}}{12 \cdot \cancel{10^{-7}}} \cdot 8 \cdot 10^{-4} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= \frac{15 \cdot \cancel{10^{1}}}{12} \cdot 8 \cdot 10^{\cancel{-4}-3} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= \frac{15}{\cancel{12}3} \cdot \cancel{8}2 \cdot 10^{-3} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= \frac{\cancel{15}5}{\cancel{3}} \cdot 2 \cdot 10^{-3} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= 5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= 10 \cdot 10^{-3} + 56 \cdot 10^{-3}\)
\(= \underline{66 \cdot 10^{-3}} \space (= 0.066)\)

Fordi alle fire modstande er ens vil både strøm og spænding fordele sig ens over alle modstande. Det vil sige at effekten for hver modstand er ens. Der er fire modstande der kan klare \(1 \space W\) hver, så samlet kan de klare \(4 \cdot 1 \space W = \underline{4 \space W}\).

\(I = \frac{C \cdot U}{t}\)
\(\Rightarrow I = U \cdot \frac{C}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{t}{C} \cdot I = U \cdot \cancel{\frac{C}{t}} \cdot \cancel{\frac{t}{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{I \cdot t}{C} = U\)

Spænding over \(R_2\) er defineret som en spændingsdeler med \(R_1\) og \(R_2\):
\(U_{R_2} = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}\)

Effekten afsat i \(R_2\) er:
\( P_{R_2} = \frac{(U_{R_2})^2}{R_2} = \frac{(U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2})^2}{R_2} = (U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2})^2 \cdot \frac{1}{R_2} = \frac{U^2 \cdot R_2^{\cancel{2}}}{(R_1 + R_2)^2} \cdot \frac{1}{\cancel{R_2}} = \frac{U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^2} \)

For at finde minimum/maksimum for effekten \(P_{R_2}\) skal man beregne den første afledte, og stilles til nul. Afledningen der skal beregnes er \(\frac{dP_{R_2}}{dR_2}\) (husk kædereglerne):

\( \frac{dP_{R_2}}{dR_2} = \frac{(U^2 \cdot 1) \cdot ((R_1 + R_2)^2) - (2 \cdot (R_1 + R_2) \cdot (U^2 \cdot R_2))}{((R_1 + R_2)^2)^2} = \frac{U^2 \cdot (R_1 + R_2)^2 - 2 \cdot (R_1 + R_2) \cdot U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^4} \)

\( = \frac{U^2 \cdot (R_1 + R_2)^{\cancel{2}} - 2 \cdot \cancel{(R_1 + R_2)} \cdot U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^{\cancel{4}3}} = \frac{U^2 \cdot (R_1 + R_2) - 2 \cdot U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^{3}} \)

\( = \frac{U^2 \cdot R_1 \cancel{+ U^2 \cdot R_2} - \cancel{2} \cdot U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^{3}} = \frac{U^2 \cdot R_1 - U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^{3}} = \frac{U^2 \cdot (R_1 - R_2)}{(R_1 + R_2)^{3}} \)

Nu stilles den første afledte til nul. Faktorene \((R_1 + R_2)^{3}\) i nævner og \(U^2\) i tæller ganges/deles væk mod nul i den anden side af ligningen:

\( \frac{dP_{R_2}}{dR_2} = 0 = \frac{U^2 \cdot (R_1 - R_2)}{\cancel{(R_1 + R_2)^{3}}} \Rightarrow 0 = \cancel{U^2 \cdot} (R_1 - R_2) \Rightarrow 0 = R_1 - R_2 \)

\( 0 = R_1 - R_2 \Rightarrow \underline{R2 = R1} \)

Det vil sige at størst effekt afsattes i \(R_2\) hvis den er ens med \(R_1\).

100 opgaver ialt.

Dag   Opgaver
  1     3
  2     3
  3     3
  4     3
  5     4
  6     4
  7     4
  8     4
  9     4
 10     5
 11     5
 12     5
 13     5
 14     5
 15     6
 16     6
 17     6
 18     6
 19     6
 20     6
 21     7
     -----
      100